Rieccomi per scrivere di un problema che in realtà è molto conosciuto e citato quasi ovunque, che però è tutto fuorchè banale. Sto parlando del cosiddetto problema di Monty Hall che rappresenta un classico esempio di come la soluzione ad un problema di probabilità , ma non solo, possa essere controintuitiva.
Monty Hall non era un matematico, bensì un presentatore televisivo che per 28 anni condusse un programma intitolato Let’s Make a Deal su una televisione americana. Nel programma era presentato un gioco che permetteva al concorrente di guadagnarsi una bella automobile. Veniva messo davanti a tre porte chiuse: dietro ad una di esse si trovava l’automobile e dietro alle altre due erano nascoste due capre. Il concorrente non aveva nessuna informazione per scegliere una porta, perciò la scelta era dettata soltanto dal caso: doveva tirare ad indovinare. Fino a questo punto la prova in questione è soltanto di fortuna, ma qui entra in gioco la strategia: dopo la scelta del concorrente il conduttore, Monty Hall, che sapeva cosa si trovava dietro ad ogni porta ne apriva una mostrando sempre che dietro vi era una capra. E chiedeva al concorrente se intendeva cambiare la sua scelta. Forse scritto in questo modo potrà apparire un po’ cervellotico, ma con un esempio si capirà quanto sia semplice il gioco in questione. Denominiamo le porte con A,B e C e supponiamo di scegliere la porta A. Monty Hall ci rivela che dietro alla porta C si trova una capra e ci chiede se vogliamo cambiare la nostra scelta. Cosa ci conviene fare? E’ più astuto cambiare? O è meglio mantenere la scelta precedente? Oppure è assolutamente uguale?
Questo problema non era affatto semplice e scatenò un piccolo “caso diplomatico” tra matematici. Uno spettatore del programma, Craig Whitaker, scrisse a Marilyn vos Savant, che figurava nel Guiness dei Primati come persona con il massimo Q.I. misurato e che curava una rubrica sulla rivista Parade, la seguente lettera:
“Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, “Do you want to pick door #2?” Is it to your advantage to switch your choice of doors?”
La risposta di Marilyn vos Savant gli suggeriva di cambiare sostenendo che la probabilità di trovare l’automobile cambiando sarebbe stata pari a 2/3 mentre quella di trovare la capra rimasta sarebbe stata pari soltanto ad 1/3. In poche parole cambiando si avevano il doppio delle probabilità di trovare l’automobile!
Questa risposta può lasciarci un po’ perplessi e Marilyn per giustificare intuitivamente suggerisce di immaginare un caso in cui invece di considerare tre porte, ve ne siano invece 1.000.000. Se dopo averne scelta una tra quelle 1.000.000 vedessimo che tutte tranne la 777.777 nascondono una capra, ci verrebbe istintivo cambiare. Il meccanismo, illustra Marilyn, è lo stesso soltanto con numeri differenti.
La spiegazione era molto sintetica, ma corretta e si può dimostrare in diversi modi. Quello più semplice, a mio modo di vedere, consiste nel pensare a cosa potrebbe succedere.
Immaginiamo ad esempio di aver scelto la porta A: le probabilità di aver indovinato sono 1/3 e quelle di aver sbagliato sono 2/3. A questo punto viene per esempio mostrato che dietro la porta C c’è una capra. Vi conviene cambiare? Se avete indovinato prima no, ma se nella prima scelta avete sbagliato (che è la cosa più probabile) vi conviene cambiare perchè allora l’automobile non può che essere dietro la porta B!
Non se questa spiegazione vi abbia convinto, ma nel caso in cui non foste potete fare qualche prova qui. In ogni caso non sentitevi dei marziani se non vi convince perchè Marilyn vos Savant, subito dopo aver pubblicato la sua risposta ricevette un mare di lettere da matematici americani infuriati che sostenevano che avesse sbagliato. Eccone qualche esempio:
I am sure you will receive many letters on this topic from high school and college students. Perhaps you should keep a few addresses for help with future columns.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University
May I suggest that you obtain and refer to a standard textbook on probability before you try to answer a question of this type again?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida
You are the goat!
Glenn Calkins
Western State College
Questi sono soltanto alcuni esempi di risposte ricevute da Marilyn, ma dopo una sua ulteriore risposta sulla rubrica di Parade in cui spiegava più nei dettagli la sua soluzione la maggior parte dei suoi oppositori si convinse del fatto che “sì, conviene cambiare”. Paul Erdős, il più prolifico, scientificamente parlando, dei matematici del ’900 non fu convinto nemmeno da questa spiegazione e si arrese soltanto quando vide che gli esiti delle simulazioni rispecchiavano le previsioni di Marilyn.
In realtà sul problema di Monty Hall ci sarebbe da dire moltissimo, da come possa essere risolto con la teoria di Bayes, alle sue varianti con più porte, fino a una versione quantistica del problema (che forse merita di più di un cenno, ma lo rimando ad un indefinito futuro) e così via.
L’invito è sempre lo stesso: se trovati errori protestate, se non è chiaro chiedete e se sapete qualcosa condividete via commento, email o pagina facebook.
p.s.Il problema di Monty Hall è citato molto spesso nel cinema o nella letteratura, ad esempio nel film 21 (anche se la spiegazione fornita non mi sembra proprio perfetta) o nel libro “Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte”.
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