“Tell me I’m a tourist in the 4th dimension?”

“Animal” – R.E.M.

Vorrei consigliare a tutti questo sito: Dimensions-Math all’interno del quale potete ordinare un dvd contenente nove piccoli documentari dedicati alla quarta dimensione (che è l’obiettivo dell’opera). Sul sito potete anche guardarli o scaricarli (sono rilasciati sotto licenza CreativeCommons) e leggere una guida a questi documentari (che sono disponibili anche in Italiano).

Gli argomenti trattati sono in realtà molti: si passa dalle proiezioni stereografiche della Terra ai solidi platonici, fino a parlare di tori e fibrazioni di Hopf, senza dimenticare Flatlandia e le opere di Escher.

Inutile dire che sono una vera miniera di spunti oltre che un piacere per gli occhi vista la qualità delle animazioni. Non aggiungo altro e lascio “parlare” questi splendidi video.

p.s. Non dimenticate di fare un salto a questa pagina a vedere chi ha realizzato questi video!

Rieccomi per scrivere di un problema che in realtà è molto conosciuto e citato quasi ovunque, che però è tutto fuorchè banale. Sto parlando del cosiddetto problema di Monty Hall che rappresenta un classico esempio di come la soluzione ad un problema di probabilità , ma non solo, possa essere controintuitiva.

Monty Hall non era un matematico, bensì un presentatore televisivo che per 28 anni condusse un programma intitolato Let’s Make a Deal su una televisione americana.  Nel programma era presentato un gioco che permetteva al concorrente di guadagnarsi una bella automobile. Veniva messo davanti a tre porte chiuse: dietro ad una di esse si trovava l’automobile e dietro alle altre due erano nascoste due capre. Il concorrente non aveva nessuna informazione per scegliere una porta, perciò la scelta era dettata soltanto dal caso: doveva tirare ad indovinare. Fino a questo punto la prova in questione è soltanto di fortuna, ma qui entra in gioco la strategia: dopo la scelta del concorrente il conduttore, Monty Hall, che sapeva cosa si trovava dietro ad ogni porta ne apriva una mostrando sempre che dietro vi era una capra. E chiedeva al concorrente se intendeva cambiare la sua scelta. Forse scritto in questo modo potrà apparire un po’ cervellotico, ma con un esempio si capirà quanto sia semplice il gioco in questione. Denominiamo le porte con A,B e C  e supponiamo di scegliere la porta A. Monty Hall ci rivela che dietro alla porta C si trova una capra e ci chiede se vogliamo cambiare la nostra scelta. Cosa ci conviene fare? E’ più astuto cambiare? O è meglio mantenere la scelta precedente? Oppure è assolutamente uguale?

Questo problema non era affatto semplice e scatenò un piccolo “caso diplomatico” tra matematici. Uno spettatore del programma, Craig Whitaker, scrisse a Marilyn vos Savant, che figurava nel Guiness dei Primati come persona con il massimo Q.I. misurato e che curava una rubrica sulla rivista Parade, la seguente lettera:

“Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, “Do you want to pick door #2?” Is it to your advantage to switch your choice of doors?”

La risposta di Marilyn vos Savant gli suggeriva di cambiare sostenendo che la probabilità di trovare l’automobile cambiando sarebbe stata pari a 2/3 mentre quella di trovare la capra rimasta sarebbe stata pari soltanto ad 1/3. In poche parole cambiando si avevano il doppio delle probabilità di trovare l’automobile!

Questa risposta può lasciarci un po’ perplessi e Marilyn per giustificare intuitivamente suggerisce di immaginare un caso in cui invece di considerare tre porte, ve ne siano invece 1.000.000. Se dopo averne scelta una tra quelle 1.000.000 vedessimo che tutte tranne la 777.777 nascondono una capra, ci verrebbe istintivo cambiare. Il meccanismo, illustra Marilyn, è lo stesso soltanto con numeri differenti.

La spiegazione era molto sintetica, ma corretta e si può dimostrare in diversi modi. Quello più semplice, a mio modo di vedere, consiste nel pensare a cosa potrebbe succedere.

Immaginiamo ad esempio di aver scelto la porta A: le probabilità di aver indovinato sono 1/3 e quelle di aver sbagliato sono 2/3. A questo punto viene per esempio mostrato che dietro la porta C c’è una capra. Vi conviene cambiare? Se avete indovinato prima no, ma se nella prima scelta avete sbagliato (che è la cosa più probabile) vi conviene cambiare perchè allora l’automobile non può che essere dietro la porta B!

Non se questa spiegazione vi abbia convinto, ma nel caso in cui non foste potete fare qualche prova qui. In ogni caso non sentitevi dei marziani se non vi convince perchè Marilyn vos Savant, subito dopo aver pubblicato la sua risposta ricevette un mare di lettere da matematici americani infuriati che sostenevano che avesse sbagliato.  Eccone qualche esempio:

I am sure you will receive many letters on this topic from high school and college students. Perhaps you should keep a few addresses for help with future columns.

W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

May I suggest that you obtain and refer to a standard textbook on probability before you try to answer a question of this type again?

Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

You are the goat!

Glenn Calkins
Western State College

Questi sono soltanto alcuni esempi di risposte ricevute da Marilyn, ma dopo una sua ulteriore risposta sulla rubrica di Parade in cui spiegava più nei dettagli la sua soluzione la maggior parte dei suoi oppositori si convinse del fatto che “sì, conviene cambiare”. Paul Erdős, il più prolifico, scientificamente parlando, dei matematici del ’900 non fu convinto nemmeno da questa spiegazione e si arrese soltanto quando vide che gli esiti delle simulazioni rispecchiavano le previsioni di Marilyn.

In realtà sul problema di Monty Hall ci sarebbe da dire moltissimo, da come possa essere risolto con la teoria di Bayes, alle sue varianti con più porte, fino a una versione quantistica del problema (che forse merita di più di un cenno, ma lo rimando ad un indefinito futuro) e così via.

L’invito è sempre lo stesso: se trovati errori protestate, se non è chiaro chiedete e se sapete qualcosa condividete via commento, email o pagina facebook.

p.s.Il problema di Monty Hall è citato molto spesso nel cinema o nella letteratura, ad esempio nel film 21 (anche se la spiegazione fornita non mi sembra proprio perfetta) o nel libro “Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte”.

Dopo una lunga latitanza, sono qui per consigliare a tutti il libro di Leonard Mlodinow La passeggiata dell’ubriaco. In realtà al problema del randomwalking non è dedicato moltissimo, e sul randomwalking davvero credo si potrebbero scrivere intere enciclopedie (e magari pure un post, che ne dite?), ma si tratta di una piacevolissima carrellata di informazioni, aneddoti ed esempi in merito alle leggi scientifiche del caso. In poche parole si parla di probabilità, di decisioni e di previsioni e soprattutto  delle trappole logiche che sono tese al nostro cervello che ragionando in modo intuitivo ci fa prendere delle cantonate. Un esempio?

Daniel Kahneman e Amos Tvesky, due psicologi, sottoposero a 88 soggetti il seguente profilo:

“Immaginiamo una donna di nome Linda, trentun anni, single, estroversa e molto intelligente, laureata in filosofia. Al college era molto interessata ai temi della discriminazione e della giustizia sociale, e ha partecipato a manifestazioni contro il nucleare. “

A questo punto i due scienziati chiesero a tutti di valutare una serie di affermazioni dando loro un voto tra 1 e 8 in base alla loro probabilità dove 1 rappresenta la certezza e 8 la certezza che non sia vero. Ed ecco i risultati:

• Linda è attiva nel movimento femminista – 2,1
• Linda opera nei servizi sociali psichiatrici – 3,1
• Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga – 3,3
• Linda fa l’impiegata di banca ed è attiva nel movimento femminista- 4,1
• Linda insegna in una scuola elementare – 5,2
• Linda è iscritta alla Lega delle donne elettrici – 5,4
• Linda fa l’impiegata in banca – 6,2
• Linda fa l’assicuratrice – 6,4″

A questo punto è interessante isolare tre di queste affermazioni:

• Linda è attiva nel movimento femminista – 2,1
• Linda fa l’impiegata di banca ed è attiva nel movimento femminista – 4,1
• Linda fa l’impiegata in banca – 6,2

Non c’è qualcosa di strano? Un matematico direbbe che i punteggi sono quantomeno sospetti. Infatti la terza affermazione include anche la seconda però è meno probabile! Tutto ciò è assurdo: infatti nell’insieme delle impiegate di banca c’è un sottoinsieme  che raccoglie le impiegate di banca attive nel movimento femminista. Kanheman e Tvesky riproposero questo esperimento più volte e lo affinarono ulteriormente. Una delle versioni è particolarmente interessante: i soggetti in questo caso erano 36 laureati a cui era stato esplicitamente detto di tenere conto, durante la scelta, della prima legge della probabilità che afferma , per l’appunto, che  la probabilità che due eventi accadano non può mai essere maggiore della probabilità che ciascun evento accada separatamente. Eppure la maggioranza degli intervistati continuò a rispondere in modo analogo.

E questo è soltanto un esempio: negli anni ’60 un’altra trappola mise in crisi la comunità matematica degli Stati Uniti.

Nel libro troverete molti di questi esempi , condenditi con un po’ di storia e folclore matematico, proposti come sfide al lettore, e ciò rende la lettura molto godibile, a patto che si abbia già masticato un po’ di probabilità (ma proprio poca).  Curiosando sul web ho infatti trovato pareri di lettori che trovavano certi “salti” del testo piuttosto ostici e in effetti a volte conviene approfondire un po’ per poter capire veramente alcuni discorsi. Tuttavia questo libro ha il pregio di dare una panoramica abbastanza ampia e di fornire tanti spunti di riflessione e non è da poco. E’ inoltre veramente una lettura piacevole, perciò lo consiglio a tutti!

“Supponiamo, per esempio, un mondo racchiuso in una grande sfera e soggetto alle seguenti leggi: la temperatura non è uniforme, ma è massima al centro e diminuisce gradualmente man mano che ci si allontana, per raggiungere lo zero assoluto in corrispondenza della sfera da cui il mondo è racchiuso. La legge di questa temperatura è la seguente: sia R il raggio della sfera limite e r la distanza del punto considerato dal centro: la temperatura assoluta sarà allora proporzionale a

Inoltre,  supponiamo che in questo mondo tutti i corpi abbiano il medesimo coefficiente di dilatazione, così che la lunghezza di un regolo qualunque sia direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta. Infine, supponiamo che un corpo trasportato da un punto ad un altro punto di temperatura differente entri immediatamente in equilibrio termico con il suo nuovo ambiente. In queste ipotesi non c’è nulla di contraddittorio o inconcepibile. Un oggetto in movimento diventerà allora progressivamente più piccolo a mano a mano che si avvicinerà alla sfera limite.

Osserviamo, anzitutto, che anche se dal punto di vista della nostra geometria abituale questo mondo è finito, ai suoi abitanti esso apparirà infinito.  Mano a mano che essi si avvicineranno alla sfera limite, essi diventeranno progressivamente più freddi e più piccoli. I loro passi saranno quindi sempre più corti, così che non potranno mai raggiungere la sfera limite.  Se per noi la geometria è lo studio delle leggi secondo le quali si muovono i solidi invarianti, per questi esseri immaginari sarà lo studio delle leggi secondo le quali si muovono i solidi deformati dalle diferenze di temperatura di cui abbiamo parlato.”

H. Poincaré – “La scienza e l’ipotesi”

Per saperne di più: molti scritti di Poincaré in lingua originale sono disponibili qui ,  molte opere di Escher si possono trovare qui, questa citazione mi è stata suggerita dal libro “La congettura di Poincaré” di Donal O’Shea.

Forse vi sarà capitato di intravedere (o di guardare con avido interesse) qualche episodio di serie poliziesche come Numb3rs (del quale credo che riparlerò ancora) o Law and Order nelle quali (in ogni puntata della prima e in qualcuna della seconda) si vedono mappe colorate appese alle pareti sulle quali vengono rappresentate con colori diversi le zone nelle quali ci sono diverse probabilità che risieda l’assassino.

La prima domanda che sorge spontanea è “si tratta di fantascienza? La risposta è semplicemente no.  Negli anni ’80 l’agente canadese Kim Rossmo  che coltivava parallelamente al suo lavoro l’interesse per la matematica utilizzò le sue conoscenze in questa disciplina e le sue modellizzazioni come strumento di investigazione. Riesaminando vecchi casi di killer o stupratori seriali costruì una formula, detta appunto formula di Rossmo, che esaminerò in seguito,  la quale permette di associare, una volta inseriti i parametri del caso, ad ogni punto di una mappa la probabilità che tale punto sia una base (residenza, luogo di lavoro) del criminale (a patto chiaramente che si tratti di un criminale di tipo seriale). Qualche tempo dopo sfruttando tale formula Rossmo costruì un programma Rigel che costruiva le mappe del quale oggi il creatore di occupa, aggiornandolo e insegnandone il funzionamento.

La domanda sorge spontanea: funziona? Rossmo risolse con il metodo del profiling geografico qualche caso in Canada e divenne famosissimo per aver scoperto uno stupratore a Lafayette, in Lousiana, che per più di dieci anni aveva molestato molte donne della città.  Il caso, denominato South Side Rapist, creò molti problemi alla polizia locale che si rivolse a Rossmo che riuscì a circoscrivere la zona di residenza del malvivente, all’interno della quale venne prelevato il DNA di tutti gli uomini residenti (e dopo un primo buco nell’acqua anche agli ex-residenti) permettendo di identificare l’uomo.

Ci tengo a precisare che questo metodo funziona soltanto se adottato nei casi di killer seriali con una base fissa. Accadde infatti che si tentò di applicarlo al caso di un cecchino (si scoprì poi che erano due)  denominato Beltway Sniper che non aveva(no) una base fissa. Il risultato ovviamente fu un insuccesso.

Come mai? Su che cosa si basa il profiling geografico? Come suggerisce il nome, che ricorda il profiling psicologico, già utilizzato in criminologia, si tratta di definire quali aree urbane siano con più probabilità la sede del killer. Non si tratta pertanto di prevedere dove e come il criminale agirà , perchè questo è molto complicato: dipende da molte, troppe variabili, molte delle quali non sono note.  Kim Rossmo spiegò il funzionamento del suo metodo con un esempio (ripreso nella prima puntata della prima serie di Numb3rs) molto chiaro. Si immagini uno spruzzatore da giardino (di quelli che ruotano per esempio): è praticamente impossibile prevedere dove cadrà la prossima goccia perchè in gioco vi sono troppe variabili (velocità di rotazione dello spruzzatore, direzione e velocità del vento, eventuale presenza di ostacoli…). Tuttavia è possibile anche non vedendo la locazione dello spruzzatore data una serie di punti dove sono atterrate le gocce calcolarne la posizione. Il principio utilizzato è lo stesso con opportune variazioni: si tiene conto di alcune informazioni note dalla criminologia (ad esempio la tendenza dei seria killer a colpire vicino alla loro base, ma non troppo vicino salvaguardando una specia di zona franca) , del fatto che le sedi possono essere più di una e della naturale tendenza umana a creare schemi anche quando tenta di comportarsi in modo casuale.

Su quest’ultimo punto vorrei insistere particolarmente: sono stati fatti una serie di studi chiedendo a gruppi di volontari di scrivere numeri casuali su un foglio e parallelamente  ad altri volontari veniva chiesto di scegliere in numeri da scrivere tirando dei dadi. Ebbene nonostante gli sforzi dei primi si rivelò facilissimo distinguere gli elenchi veramente casuali. Questo perchè gli elenchi del primo gruppo non presentavano quasi mai la concentrazione di numeri vicini, cosa invece casualmente può accadere! Analogamente chiedendo a delle persone di disporsi in una stanza casualmente esse tenderanno a disporsi all’incirca tutti alla stessa distanza l’una dall’altra (non vale chiederlo dentro un’università di matematica).

Tutto questo è espresso dalla formula di Rossmo:

Formula di Rossmo

Si può osservare anzitutto che a sinistra dell’uguale troviamo la probabilità di un punto appartenente ad una mappa alle coordinate ij di essere una sede del killer (i e j si usano in generale in matematica come indici per rappresentare la riga e la colonna). A destra vi è una costante k moltiplicata per una sommatoria da 1 a c (che indica il numero dei casi noti): in altre parole si sommano tanti termini quanti sono i casi precedenti. Ogni termine è a sua volta composto da due termini: il primo presenta una distanza a denominatore elevata ad un f da noi scelto in base ai parametri del caso e a numeratore una funzione indicata con la lettera greca phi che rappresenta una funzione peso per dare più peso ad un termine (il primo o il secondo) o all’altro (il secondo o il primo rispettivamente). Questo termine rappresenta il decrescere della probabilità all’aumentare della distanza e può ricordare alcune leggi fisiche come la legge di gravitazione universale o la legge di Coulomb anche se in questo caso la potenza non è necessariamente f = 2. Il secondo termine può sembrare più strano: a denominatore si sottrae la distanza da una costante B (un altro parametro che va inserito a seconda del tipo di indagine) e a numeratore compare, sottratta però, di nuovo la funzione peso. Questo secondo termine rende conto della presenza della zona cuscinetto, le cui dimensioni sono rappresentate tramite il parametro B.

Si può osservare chiaramente quali siano le restrizioni legate all’utilizzo di questa formula e quanti parametri si debbano stimare per utilizzarla. Un discorso analogo si deve fare per il software Rigel. Tuttavia in molti casi si sono rivelati strumenti utili per aiutare le forze di polizia e piano piano stanno trovando anche altre applicazioni.

Per chi fosse interessato e volesse saperne di più posso consigliare di guardare la prima puntata di Numb3rs la cui vicenda è molto, ma molto simile a quella di Kim Rossmo, da cui è ispirata, e di fare una capatina su Numb3rs.Wolfram e su PopSci, oltre alla lettura di “Il matematico e il detective” di Keith Devlin e Gary Lorden. Consiglio inoltre di visitare il sito web del Center for Geospatial Intelligence and Investigation.

Chi scrive come tanti altri è stata attratta da questo libro dopo l’illustre precedente dell’autore. Più che una recensione coerente quello che state leggendo è un insieme di impressioni, una macchia di idee in disordine (non un disordine perfetto, però).

La prima cosa che si nota è che il libro è strutturato in 12 capitoli ognuno “ambientato” in un mese dell’anno differente (cominciando da Agosto) e spesso in luoghi diversi (caratteristica che verrà sicuramente apprezzata da chi ama viaggiare o semplicemente scoprire la matematica ovunque) dove l’autore, spesso accompagnato dal figlio, trova la simmetria, argomento centrale del saggio, nei posti più disparati.
Nei dodici mesi assistiamo da un lato alle vicende matematiche e personali dell’autore dall’altro allo sviluppo del saggio che parte dalla nozione intuitiva di simmetria fino ad arrivare alla teoria dei gruppi raggiungendo infine gli ultimi sviluppi (il famoso Mostro).
Tutto questo è mescolato alle vicende biografiche dei grandi matematici che si sono occupati del problema, fra tutti Galois la cui vita si presta bene a romanzi e aneddoti, e in questo devo ammettere il libro è un po’ simile a “L’equazione impossibile” di Mario Livio. Non è però una pecca, perchè moltissimi libri divulgativi di matematica sono, un po’ per forza di cose strutturati così. In questo caso si nota in modo evidente perchè anche l’altro libro finisce per parlare della teoria dei gruppi.

Il livello di matematica di questo saggio non è altissimo, ma richiede comunque una certa dimestichezza con gli argomenti, o perlomeno una sana voglia di concentrarsi.
Pertanto credo che sia un libro in generale per persone interessate alla matematica, penso che non lo userei per convincere qualcuno che normalmente odia la matematica a dedicarvisi.
Bisogna anche dire che si tratta di un saggio divulgativo perciò non ci si deve nemmeno, per contro, aspettare dimostrazioni e rigore: non è quello che l’autore vuole e non lo si troverà.

Non è però comune che un ricercatore, un matematico in particolare, dedichi spazio a spiegare cosa fa, a descrivere di cosa si occupa. Come l’autore stesso evidenzia abbiamo tutti una vaga idea di cosa faccia un biologo (o perlomeno pensiamo di averla) o un astrofisico, ma al di fuori dell’ambito scientifico sapere di cosa si occupa un matematico è raro.
Trovo quindi molto importante che du Sautoy provi a descrivere, per quanto difficile sia, le sue ricerche ai profani (anche se non mi è parso di capire con precisione tutto,ma credo sia normale).

Dopo queste idee confuse (che giustifico con il titolo del libro) penso di poter dire che si tratta di un buon libro, di un discreto esempio di divulgazione matematica (anche se fatico a metterlo all’altezza del libro precedente dell’autore) contenente ottime idee. Si colloca un pochino a metà tra i libri divulgativi di base, che possono anche risultare noiosi una volta che se ne sono letti tanti, e tra i testi più specialistici.
Per l’argomento trattato merita di essere letto, ma non si è dimostrato, secondo chi scrive, all’altezza del predecessore.

a.d.p.