In figura è possibile vedere una rappresentazione geometrica di parte del nostro problema, che trattiamo con le approssimazioni e le leggi dell’ottica geometrica. Assumendo che la luce si propaghi in linea retta possiamo vedere il raggio incidente in alto a sinistra arrivare all’interfaccia tra aria e acqua: parte di questa luce viene riflessa (ma per il momento non ce ne curiamo) e parte viene rifratta all’interno della goccia. Nella trasmissione tra un mezzo e un’altro l’angolo del raggio con la normale alla superficie cambia in base al rapporto tra gli indici di rifrazione da α a β. All’interno della goccia la luce viene trasmessa finchè non incontra un’altra interfaccia nel punto B dove viene nuovamente parzialmente rifratta e parzialmente riflessa. Questa volta ci concentriamo sulla componente riflessa, che secondo le leggi dell’ottica geometrica mantiene un angolo di β e si ritrasmette fino a C dove la componente che ci interessa (per ora) è quella trasmessa. L’angolo di deviazione del raggio uscente da quello incidente in A si può calcolare con le leggi citate sopra e con un po’ di geometria: δ=180°-2α+4β.

Un’osservazione importante è che δ non può avere qualsiasi valore (ricordiamo che la luce può colpire la goccia con molti angoli diversi) , ma (si può trovare derivando l’espressione o provando a mettere molti valori) presenta un valore minimo pari a un angolo di 137°-138°. Ciò significa che la luce che verrà complessivamente riflessa dalla goccia sarà tutta raccolta in un cono (anche perchè la goccia è simmetrica) di circa 42° di apertura. Questo risultato si può verificare osservando un arcobaleno con attenzione: l’interno dell’arco è sempre più luminoso dell’esterno.

In realtà con questo viaggio nella goccia di pioggia non si sono spiegati gli aspetti più salienti ovvero la forma e i colori. Cominciamo da questi ultimi: come probabilmente tutti sapete la luce bianca incidente, proveniente dal Sole, contiene già tutti i colori dello spettro. La goccia si comporta come un prisma, scomponendoli in un fenomeno detto dispersione. Questo comportamento della luce è legato al fatto che gli indici di rifrazione, che determinano gli angoli con cui viene rifratto il raggio, sono diversi per ogni  frequenza ovvero per ogni colore della luce. La principale conseguenza è quindi che ogni componente dello spettro avrà un cono di apertura leggermente diversa (la differenza è di pochi gradi °): all’interno di tutti i coni (nel volume che è intersezione di tutti i coni) rivedremo luce bianca, ma per angoli di apertura maggiore solo alcuni colori potranno essere “riflessi”.

Da queste figure (tratte da questo interessante sito) si dovrebbe avere un’idea intuitiva di cosa siano questi coni e come facciamo a vederli. In particolare modo dalla seconda immagine si capisce il motivo per cui la forma è quella di un arco e per cui per vedere un arcobaleno non basta una sola goccia d’acqua. Infatti, a seconda dell’angolo tra l’osservatore e la luce incidente dal Sole avremo una trasmissione fino all’occhio di luce bianca, di un determinato colore (a seconda del cono in cui si trova l’angolo) o nessuna luce (in realtà vediamo della luce diffusa, ma non quel raggio in particolare).

A questo punto, compreso il meccanismo di base, ci si possono porre problemi più complicati, ad esempio: come funzionano gli arcobaleni doppi? Se ritornate alla prima immagine, in cui si è studiato il percorso del raggio di luce all’interno della goccia d’acqua, ricorderete che in corrispondenza del punto C abbiamo trascurato la luce che veniva ulteriormente riflessa nell’acqua e ci siamo concentrati su ciò che viene rifratto. Se però ammettiamo che ci sia un’altra riflessione in C e studiamo gli angoli come fatto in precedenza si può scoprire che questa riflessione porta alla formazione di un secondo arco, i cui colori sono invertiti.

L’inversione dei colori riguarda anche le aree in cui la luce può arrivare o meno: l’area tra i due archi non riceve luce da nessuno dei due fenomeni perciò rimane più scura (si vede anche piuttosto bene dalle immagini) con la formazione delle cosiddette bande di Alessandro. Calcolando gli angoli ammessi si può inoltre osservare che è più largo rispetto a quello principale e osservando che la riflessione in C è meno probabile che la rifrazione l’arco secondario è meno intenso.

Insomma, come potete intuire a questo punto non c’è più limite alla vostra curiosità e creatività. L’ordine degli arcobaleni non si ferma infatti a 2, ma si tratta di archi sempre più flebili . Non finisce qui: si può parlare di arcobaleni gemelli, studiare la polarizzazione della luce degli arcobaleni, osservare arcobaleni lunari (chi lo dice che la luce debba venire dal Sole?) e così via…

Per chi volesse approfondire consiglio caldamento un video del MIT (in inglese) a cui mi sono pesantemente ispirata nella scrittura di questo post che approfondisce anche il discorso sulla polarizzazione. Un ottimo riferimento ricco di immagini e spunti per tutta l’ottica atmosferica merita sicuramente la vostra visita. Un altro sito di ottica atmosferica con qualche spiegazione in più.

“Animal” – R.E.M.

Vorrei consigliare a tutti questo sito: Dimensions-Math all’interno del quale potete ordinare un dvd contenente nove piccoli documentari dedicati alla quarta dimensione (che è l’obiettivo dell’opera). Sul sito potete anche guardarli o scaricarli (sono rilasciati sotto licenza CreativeCommons) e leggere una guida a questi documentari (che sono disponibili anche in Italiano).

Gli argomenti trattati sono in realtà molti: si passa dalle proiezioni stereografiche della Terra ai solidi platonici, fino a parlare di tori e fibrazioni di Hopf, senza dimenticare Flatlandia e le opere di Escher.

Inutile dire che sono una vera miniera di spunti oltre che un piacere per gli occhi vista la qualità delle animazioni. Non aggiungo altro e lascio “parlare” questi splendidi video.

p.s. Non dimenticate di fare un salto a questa pagina a vedere chi ha realizzato questi video!

“Supponiamo, per esempio, un mondo racchiuso in una grande sfera e soggetto alle seguenti leggi: la temperatura non è uniforme, ma è massima al centro e diminuisce gradualmente man mano che ci si allontana, per raggiungere lo zero assoluto in corrispondenza della sfera da cui il mondo è racchiuso. La legge di questa temperatura è la seguente: sia R il raggio della sfera limite e r la distanza del punto considerato dal centro: la temperatura assoluta sarà allora proporzionale a

Inoltre,  supponiamo che in questo mondo tutti i corpi abbiano il medesimo coefficiente di dilatazione, così che la lunghezza di un regolo qualunque sia direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta. Infine, supponiamo che un corpo trasportato da un punto ad un altro punto di temperatura differente entri immediatamente in equilibrio termico con il suo nuovo ambiente. In queste ipotesi non c’è nulla di contraddittorio o inconcepibile. Un oggetto in movimento diventerà allora progressivamente più piccolo a mano a mano che si avvicinerà alla sfera limite.

Osserviamo, anzitutto, che anche se dal punto di vista della nostra geometria abituale questo mondo è finito, ai suoi abitanti esso apparirà infinito.  Mano a mano che essi si avvicineranno alla sfera limite, essi diventeranno progressivamente più freddi e più piccoli. I loro passi saranno quindi sempre più corti, così che non potranno mai raggiungere la sfera limite.  Se per noi la geometria è lo studio delle leggi secondo le quali si muovono i solidi invarianti, per questi esseri immaginari sarà lo studio delle leggi secondo le quali si muovono i solidi deformati dalle diferenze di temperatura di cui abbiamo parlato.”

H. Poincaré – “La scienza e l’ipotesi”

Per saperne di più: molti scritti di Poincaré in lingua originale sono disponibili qui ,  molte opere di Escher si possono trovare qui, questa citazione mi è stata suggerita dal libro “La congettura di Poincaré” di Donal O’Shea.

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