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Le Magie del Black Lotus

19 ottobre 2011 in dendrite by Luca | 7 comments

Tanto tempo fa mi imbattei in un libro eccezionale, l’autore e’ figlio di un premio nobel per la fisica e, come capita a molti americani, questo condivide col padre non solo il cognome ma anche il nome. Il dialogo che segue vuole essere un tributo ai dialoghi del libro dove, per la prima volta, leggo di Achille e la Tartaruga discutere piacevolmente di arti visive, musica e matematica.

Achille e la Tartaruga passeggiano per l’orto botanico.
A – Sono molto contento che lei mi abbia invitato per questa passeggiata: tutte queste piante mi infondono una gran pace; ci voleva proprio, piacevole come ascoltare in sua compagnia una fuga di Bach.
T – Il piacere e’ mio Achille. Conversare con lei e’ sempre cosi’ stimolante…

Nel dire questo si avvicinano allo stagno dei loti.

A – Guardi come sono belli questi loti Signora T! Resto affascinato nell’osservare come questi fiori cosi’ puri crescano in acque cosi’ torbide; com’e’ mai possibile?
T – La sua e’ una domanda tutt’altro che banale e piu’ d’uno studioso s’e’ rotto il capo cercando di comprendere appieno l’Effetto Loto! Si tratta di un fenomeno di idrorepellenza per cui le gocce d’acqua rotolano sulla superficie del loto portandosi via la sporcizia e lasciando il loto asciutto e pulito.
A – Ah! Sembra una cosa cosi’ complicata: idrorepellenza! Eppure lo so cos’e’. Vuol forse dire che la superficie del loto e’ oleosa come lo sono, ad esempio, le piume dei cigni? Anche loro restano candidi come i loti, pure bazzicando in acque altrettanto sporche.
T – Ecco Achille, l’esempio e’ piuttosto pertinente e, ancora una volta, devo congratularmi con lei. Pero’ c’e’ una differenza notevole fra i due fenomeni: infatti l’idrorepellenza del loto deriva da questioni geometriche.
A – Non posso davvero crederlo signora T! Perfino nell’orto botanico ci ritroviamo a parlare di Euclide?
T – Eheheh! Mi lasci raccontare Achille, questi studi sono successivi ad Euclide di molti secoli: le sto parlando di “Sull’equilibrio di sostanze eterogenee”, un lavoro monumentale per la chimica-fisica in cui, fra l’altro, si introduce il concetto di tensione superficiale che serve, appunto, a spiegare l’Effetto Loto. Pensi, Achille, che l’autore di questo trattato e’ nato lo stesso secolo in cui e’ morto Tchaikovsky, ed in queste due date decine ed unita’ sono invertite fra loro.
A – Ah, so bene di chi parla! Si tratta di un connazionale di Ray Charles e, guardi un po’, anche le loro date di nascita e morte sono legate dalla stessa regola! Signora T. lei sta parlando di Josiah Willard Gibbs, non e’ vero?
T – Esattamente!
A – Le devo confessare che piu’ d’una volta avrei desiderato avventurarmi nel lavoro di Gibbs, proprio perche’ strabiliato dagli effetti visibili della tensione superficiale… Ecco! Guradi proprio qui nello stagno dei loti un piccolo insetto che cammina comodamente sulla superficie dell’acqua. Non dipende forse dalla tensione superficiale?
T – Esattamente!
A – I fenomeni di capillarita’ per cui, ad esempio, l’acqua viene risucchiata all’interno di una spugna, non dipendono anch’essi dalla tensione superficiale?
T – Esattamente!
A – La possibilita’ di realizzare superfici minime grazie all’acqua saponata non dipende anch’essa dalla tensione superficiale?
T – Esattamente!
A – Non posso che ripetermi: strabiliante.
T – Carissimo Achille, ormai conosce bene quanto me il mio artista preferito, M.C. Escher, dunque stavolta vorrei introdurla a Helaman Ferguson. Uno scultore, un artista, anzi un Algorista! Quando torneremo a casa le mostrero’ alcune foto delle sue opere: sa che nel 1999 ha realizzato una superficie minima partendo da un blocco di ghiaccio di venti tonnellate?
A – Strabiliante!

T – Il dettaglio ancor piu’ stupefacente e’ che mentre le sculture in ghiaccio, sciogliendosi, perdono rapidamente la loro forma originale, le sculture di superfici minime mantengono la stessa geometria fino a quando non si sciolgono completamente.
A – Strabiliante! Signora T, non mi tenga sulle spine! Come puo’ una sola proprieta’ fisica generare effetti cosi’ disparati?
T – Lei mi chiede di riassumerle un trattato di oltre 300 pagine! Vede quella goccia che proprio ora rotola via dal loto? Bene Achille, come potrebbe valutare la sua energia?
A – C’e’ l’energia legata alla sua massa, l’energia cinetica e l’energia potenziale…
T – Esatto. Ma esistono altri tipi di energia: quello che interessa a noi e’ di tipo chimico-fisico. Le molecole d’acqua sono attratte le une dalle altre, non solo per via delle loro masse, ma soprattutto per via delle loro cariche elettriche. Quelle all’interno della goccia non subiscono alcuna attrazione essendo spinte ugualmente in tutte le direzioni, ma quelle sulla superficie sono attratte verso l’interno. Questo genera la tensione superficiale.
A – Ah! Credo di capire quello che vuole dire: se un drappello di soldati viene accerchiato da forze soverchianti ci si dispone in modo da presentarsi vulnerabili quanto meno e’ possibile…
T – In questo caso i soldati sono spinti, le molecole della goccia sono tirate; i soldati si dispongono solo in due dimensioni, le molecole d’acqua in tre. Eppure si’ e’ una forte analogia. Mi dica Achille, in che posizione si disporranno i suoi soldati? A falange?
A – Se fossero ben addestrati, forse! Molto piu’ probabilmente si disporranno a disco in modo da minimizzare la superficie di contatto… Oh! Signora T! Forse ho capito! Siccome la sfera e’ il solido con minore superficie a parita’ di volume ecco che una goccia preferisce questa superficie minima, esatto?
T – Complimenti Achille. Ma le superfici minime dell’acqua saponata non contengono alcun volume d’acqua, come la mettiamo?
A – Signora T, lei vuole trarmi in inganno: questo vale per i soldati che vogliono proteggersi l’un l’altro, ma non per l’acqua. L’acqua saponata crea lamine sottilissime e flessibilissime che possono minimizzare, ad esempio, l’area della superficie che ha come bordo due circonferenze nello spazio, poste su piani paralleli, ed allineate in modo che il segmento che congiunge i centri delle due circonferenze risulti perpendicolare ad entrambi i piani su cui giacciono le due circonferenze.
T – Com’e’ rigoroso Achille! Mi ha appena citato il problema capostipite riguardo alle superfici minime! Sa che anche della catenoide ho delle splendide immagini? Realizzazioni in acqua saponata, ovviamente…
A – Dunque ecco spiegate le superfici minime, ma i fenomeni di capillarita’?
T – Dobbiamo rivedere con maggiore dettaglio l’idea che ci samo fatti della tensione superficiale. Supponiamo, Achille, che il drappello di cui parlava non e’ propriamente circondato, piuttosto si trovi con le spalle al muro.
A – Ahi ahi ahi Signora T! Vorrei proprio sapere chi comanda il drappello: evitare di trovarsi spalle al muro e’ uno dei consigli piu’ elementari. Eppure a ben pensarci, forse e’ meglio che essere circondati: vuole dirmi che la tensione superficiale non dipende solo dal liquido ma anche dall’ambiente?
T – Complimenti Achille, intuitivo come sempre! Il valori delle tensioni superficiali dipendono dal liquido e dagli elementi con cui e’ in contatto. Generalmente vi sono due superifici e due tensioni superficiali: una fra l’aria e la goccia, una fra la goccia e la superficie solida su cui e’ poggiata. Se la superficie e’ idrofila, una goccia d’acqua puo’ minimizzare la sua energia avendo una superficie di contatto maggiore con questa.

Proprio in quel momento Achille e la Tartaruga osservano delle ninfee.

A – Non capisco. Se la superficie d’appoggio aumenta, non aumenta anche la superfice libera, quella a contatto con l’aria?
T – Mio caro Achille, lei si fa distrarre da cio’ che vede. Questo e’ certamente vero se la superfice d’appoggio e’ un piano, ma che cosa pensa accadrebbe se la superficie fosse un tubo?
A – Ah! Allora l’acqua potrebbe risalire nel tubo senza aumentare la superfice libera!
T – Questo e’ solo un primo rozzo approccio: nei fenomeni di capillarita’ sono coinvolti anche altri fattori, primo fra tutti possibili differenze di pressione.
A – Eppure, per quanto non sia esaustivo, lascia ben intuire quanto il concetto di tensione superficiale risulti versatile. La tensione superficiale aria-acqua e’ responsabile dei fenomeni legati alle superfici minime: questo perche’ l’acqua a contatto con l’aria puo’ assumere qualunque forma. La competizione fra le tensioni superficiali aria-acqua sostrato-acqua, in determinate condizioni geometriche, e’ co-responsabile dei fenomeni di capillarita’. Mi sembra che ci avviciniamo alla soluzione dell’Effetto Loto, vero Signora T? Suppongo che condizioni geometriche molto specifiche possano scoraggiare l’acqua dall’adesione al sostrato. Se fosse cosi’ ogni gocciolina d’acqua sarebbe una sfera pressocche’ perfetta.
T – Esattamente Achille. E’ quello che succede: ogni goccia rotola via dal loto come una palla su una collina; rotolando raccoglie e porta via con se’ la sporcizia.
A – Sono davvero stupefatto! Eppure non riesco ancora ad immaginare che genere di forma possa causare un simile effetto: avra’ a che fare con la sottile “peluria” del loto, ma come?

T – Achille, lei e’ capace di trovare similitudini cosi’ suggestive e poi se ne scorda nel momento del bisogno! Cosa accadrebbe al suo manipolo se avessero alle spalle, piuttosto che un muro, delle lame affilate?
A – Ora capisco! A livello microscopico il loto e’ estremamente frastagliato e se l’acqua vi aderisse avrebbe una superficie di contatto enorme, molto maggiore di quella apparente.
T – Ecco dunque spiegato il problema… Ed eccone un’altro piu’, piccolo ed insidioso, che lotta per venire a galla!

Achille, intanto, si imbatte in una tela di ragno e ne osserva affascinato le gocce d’aqcua.

A – …Signora T, ha notato che alcune goccioline sono inanellate al filo esattamente lungo il loro diametro, mentre altre non lo sono? Che sia il peso l’unica differenza?
T – Venga Achille, ne parleremo tornando a casa…

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Unweaving Rainbows: ottica e geometria dell’arcobaleno

22 agosto 2011 in lente di barlow by Alice | 1 comment

L’arcobaleno è uno dei fenomeni ottico-atmosferici più conosciuti e scientificamente rappresenta una meraviglia perchè spiegandolo permette di entrare in contatto con molti comportamenti della luce spesso studiati in modo indipendente. Anzitutto, dall’esperienza, cosa sappiamo sull’arcobaleno? Lo vediamo quando piove, ma  solo se allo stesso tempo alcuni raggi di Sole arrivano fino a noi senza attraversare le nuvole. Vedremo che questea osservazione molto semplice ha le sue ragioni ottiche e per giungere a tali conclusioni, cominciamo a capire cosa accade alla luce all’interno di una goccia di pioggia.

In figura è possibile vedere una rappresentazione geometrica di parte del nostro problema, che trattiamo con le approssimazioni e le leggi dell’ottica geometrica. Assumendo che la luce si propaghi in linea retta possiamo vedere il raggio incidente in alto a sinistra arrivare all’interfaccia tra aria e acqua: parte di questa luce viene riflessa (ma per il momento non ce ne curiamo) e parte viene rifratta all’interno della goccia. Nella trasmissione tra un mezzo e un’altro l’angolo del raggio con la normale alla superficie cambia in base al rapporto tra gli indici di rifrazione da α a β. All’interno della goccia la luce viene trasmessa finchè non incontra un’altra interfaccia nel punto B dove viene nuovamente parzialmente rifratta e parzialmente riflessa. Questa volta ci concentriamo sulla componente riflessa, che secondo le leggi dell’ottica geometrica mantiene un angolo di β e si ritrasmette fino a C dove la componente che ci interessa (per ora) è quella trasmessa. L’angolo di deviazione del raggio uscente da quello incidente in A si può calcolare con le leggi citate sopra e con un po’ di geometria: δ=180°-2α+4β.

Un’osservazione importante è che δ non può avere qualsiasi valore (ricordiamo che la luce può colpire la goccia con molti angoli diversi) , ma (si può trovare derivando l’espressione o provando a mettere molti valori) presenta un valore minimo pari a un angolo di 137°-138°. Ciò significa che la luce che verrà complessivamente riflessa dalla goccia sarà tutta raccolta in un cono (anche perchè la goccia è simmetrica) di circa 42° di apertura. Questo risultato si può verificare osservando un arcobaleno con attenzione: l’interno dell’arco è sempre più luminoso dell’esterno.

In realtà con questo viaggio nella goccia di pioggia non si sono spiegati gli aspetti più salienti ovvero la forma e i colori. Cominciamo da questi ultimi: come probabilmente tutti sapete la luce bianca incidente, proveniente dal Sole, contiene già tutti i colori dello spettro. La goccia si comporta come un prisma, scomponendoli in un fenomeno detto dispersione. Questo comportamento della luce è legato al fatto che gli indici di rifrazione, che determinano gli angoli con cui viene rifratto il raggio, sono diversi per ogni  frequenza ovvero per ogni colore della luce. La principale conseguenza è quindi che ogni componente dello spettro avrà un cono di apertura leggermente diversa (la differenza è di pochi gradi °): all’interno di tutti i coni (nel volume che è intersezione di tutti i coni) rivedremo luce bianca, ma per angoli di apertura maggiore solo alcuni colori potranno essere “riflessi”.

Da queste figure (tratte da questo interessante sito) si dovrebbe avere un’idea intuitiva di cosa siano questi coni e come facciamo a vederli. In particolare modo dalla seconda immagine si capisce il motivo per cui la forma è quella di un arco e per cui per vedere un arcobaleno non basta una sola goccia d’acqua. Infatti, a seconda dell’angolo tra l’osservatore e la luce incidente dal Sole avremo una trasmissione fino all’occhio di luce bianca, di un determinato colore (a seconda del cono in cui si trova l’angolo) o nessuna luce (in realtà vediamo della luce diffusa, ma non quel raggio in particolare).

A questo punto, compreso il meccanismo di base, ci si possono porre problemi più complicati, ad esempio: come funzionano gli arcobaleni doppi? Se ritornate alla prima immagine, in cui si è studiato il percorso del raggio di luce all’interno della goccia d’acqua, ricorderete che in corrispondenza del punto C abbiamo trascurato la luce che veniva ulteriormente riflessa nell’acqua e ci siamo concentrati su ciò che viene rifratto. Se però ammettiamo che ci sia un’altra riflessione in C e studiamo gli angoli come fatto in precedenza si può scoprire che questa riflessione porta alla formazione di un secondo arco, i cui colori sono invertiti.

L’inversione dei colori riguarda anche le aree in cui la luce può arrivare o meno: l’area tra i due archi non riceve luce da nessuno dei due fenomeni perciò rimane più scura (si vede anche piuttosto bene dalle immagini) con la formazione delle cosiddette bande di Alessandro. Calcolando gli angoli ammessi si può inoltre osservare che è più largo rispetto a quello principale e osservando che la riflessione in C è meno probabile che la rifrazione l’arco secondario è meno intenso.

Insomma, come potete intuire a questo punto non c’è più limite alla vostra curiosità e creatività. L’ordine degli arcobaleni non si ferma infatti a 2, ma si tratta di archi sempre più flebili . Non finisce qui: si può parlare di arcobaleni gemelli, studiare la polarizzazione della luce degli arcobaleni, osservare arcobaleni lunari (chi lo dice che la luce debba venire dal Sole?) e così via…

Per chi volesse approfondire consiglio caldamento un video del MIT (in inglese) a cui mi sono pesantemente ispirata nella scrittura di questo post che approfondisce anche il discorso sulla polarizzazione. Un ottimo riferimento ricco di immagini e spunti per tutta l’ottica atmosferica merita sicuramente la vostra visita. Un altro sito di ottica atmosferica con qualche spiegazione in più.

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Perchè la turbolenza?

27 febbraio 2011 in dendrite by Alice | No comments

“What is Turbulence? Turbulence is like pornography. It is hard to define but if you see it, you recognize it immediately.”[G.K. Vallis (1999)]

“I am an old man now, and when I die and go to heaven there are two matters on which I hope for enlightenment. One is quantum electrodynamics, and the other is the turbulent motion of fluids. And about the former I am rather optimistic.”[H.Lamb]

Che cos’è la turbolenza e perchè fa innervosire così tanto gli scienziati? Questo post vuole mettere alla prova me e voi nel districarci in un vero e proprio ginepraio di idee,  di errori e di sfide.  Forse il primo passo potrebbe essere cercare un esempio davvero molto semplice da prendere come riferimento:  il più semplice che ho incontrato è quello del rubinetto. Quando apriamo un rubinetto in modo che l’acqua si muova piano e guardiamo attraverso il flusso d’acqua possiamo vedere che è trasparente e che  in qualsiasi momento lo guardiamo il suo aspetto è sempre il medesimo. Ci troviamo davanti a un buon analogo per il cosiddetto flusso laminare che  è caratterizzato dal fatto di rimanere costante nel tempo e da poter essere visto come una serie di strati di fluido che scorrono uno accanto all’altro senza mescolarsi.

Se la velocità dell'acqua è bassa il flusso è laminare.

Se però aumentiamo la velocità dell’acqua aprendo ulteriormente il rubinetto inizialmente non ci saranno cambiamenti particolari: l’acqua si limiterà a scorrere più veloce. In corrispondenza di una certa velocità , tuttavia, si può osservare un cambiamento qualitativo nel sistema. Il flusso non è più trasparente, ma diventa opaco per la presenza di bolle e vortici. Non è più costante, i vari “strati” di fluido si rimescolano e anche il rumore dell’acqua è cambiato… è una situazione completamente diversa dalla precedente: il flusso è ora turbolento.

Se la velocità cresce compaiono bolle e vortici nel flusso: il regime è ora turbolento

Il cambiamento di regime da laminare a turbolento è detto transizione alla turbolenza e non dipende soltanto dalla velocità. Il parametro che viene utilizzato in questi studi è il numero di Reynolds che è un numero adimensionale definito come

dove a numeratore compaiono  v , che indica la velocità del fluido,  la scala del sistema (o dimensione lineare caratteristica)  L e la densità del fluido e a denominatore  la sua viscosità. Il suo significato è tutto fuorchè banale: un’interpretazione convincente consiste nel vederlo come il rapporto tra le forze inerziali (a numeratore) e quelle viscose (a denominatore). Quando il denominatore “controlla bene” il numeratore ovvero il numero di Reynolds è molto basso, il moto è viscoso e laminare (immaginate un rubinetto come quello di prima, e al posto dell’acqua fateci scorrere del miele, un esempio importante è costituito dalla parte della Terra denominata mantello). Se però accade il contrario, ovvero il numero di Reynolds è molto alto (intorno ai 2200-3000) le forze inerziali entrano in gioco e il regime diventa turbolento. Il motivo per cui compare la turbolenza al crescere delle forze inerziali è dovuto al fatto che se l’inerzia domina sulle forze viscose, basterà una piccolissima perturbazione dell’andamento rettilineo (immaginiamo di partire dal moto laminare): l’inerzia accentuerà tali differenze e asimmetrie che vengono invece smorzate dalle forze viscose e tali asimmetrie verranno amplificate con l’evolvere del sistema. E’ questo anche il motivo per cui il moto non è costante, a differenza del flusso laminare!

Molto bene, e perchè occuparsi in modo così accanito? I motivi sono diversi e sono legati a ragioni fortemente pratiche come lo studiare che forma deve avere l’ala di un aeroplano per minimizzare la turbolenza (che è anche la responsabile del rimbombo molto rumoroso che si sente verso la coda),  approfondire la conoscenza dell’apparato circolatorio umano e non (il flusso sanguigno di un topo è più laminare di quello di un essere umano, a parità di altre condizioni, mentre nei grandi animali si possono sentire mormorii dovuti alla turbolenza) e prevedere (o perlomeno provarci)  l’evoluzione delle correnti atmosferiche, ma non solo. Ci sono anche ragioni “d’orgoglio”.

Lo studio della turbolenza gioca un ruolo importante nell'analisi dei fenomeni atmosferici

Infatti le equazioni che regolano la fisica della turbolenza (e in generale del moto di un fluido)  sono note, ma una soluzione nel caso generale non è ancora stata trovata. Inoltre si tratta di un fenomeno che ricorre ad ogni scala ed è un esempio di come ad ogni scala ricorrano fenomeni non-lineari e complessi. In più di 100 anni ci sono stati molti progressi in termini di simulazioni numeriche (e soprattutto le tecniche computazionali sono migliorate molto), ma la “vera” soluzione, se esiste, non è ancora stata trovata.  C’è quindi una doppia sfida in questo problema: da un lato comporterebbe maggiore efficienza dal punto di vista ingegneristico e a una maggiore comprensione di molti fenomeni fisici (problemi di diffusione di calore, connessioni Terra-Sole,etc. oltre a quelli già citati precedentemente), dall’altro si tratta di un problema matematico avvincente. E forse sono questi i motivi per cui Richard Feynman lo definì il più grande enigma delle fisica classica e ogni giorno scienziati e ingegneri si confrontano con questo argomento.

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Numeri a caso

31 ottobre 2010 in lente di barlow by Alice | 2 comments

Molto probabilmente, se capitate da queste parti, avrete sentito parlare di Metodi Monte Carlo o di sequenze pseudorandom. Nel mio caso si è trattato di un incontro fortuito quando studiavo ancora al primo anno delle superiori (se non addirittura in terza media): la sensazione fu di perplessità (anzi, di buio totale): cosa diavolo potevano avere a che fare dei numeri random con la sicurezza informatica? E soprattutto come mai un capitolone di più di 50 pagine di un libro su questo argomento veniva dedicato a come creare numeri casuali? La risposta, o meglio le risposte, sono arrivate piano piano, con il proseguire degli studi e forse è il momento di mettere un po’ in ordine le idee.

Anzitutto, perchè generare numeri casuali? La domanda è già di per se formulata male: i numeri infatti non sono casuali: può essere casuale una loro sequenza, tuttavia per comodità si utilizza, anche in testi tecnici questa espressione. Numeri casuali o numeri random: non sembrano nulla di complicato, si tratta di sequenze di numeri non correlati fra di loro. Si possono costruire abbastanza facilmente: basta lanciare un dado, far girare una roulette o tirare una moneta. Intuitivamente si potrebbe pensare di farlo anche a mente, inventando numeri a caso: in merito a questa possibilità vi sono studi contrastanti. Alcune ricerche, sicuramente meno aggiornate, sostengono l’ipotesi che non siamo veramente in grado di generare sequenze di numeri casuali: compaiono una serie di pattern abbastanza naif tra cui una netta predominanza di numeri dispari e l’assoluta assenza di numeri consecutivi (che nelle sequenze veramente casuali compaiono, seppur raramente). Altri studi più recenti, ma meno confermati, sembrano dar credito all’idea opposta: i numeri generati a ruota libera dai campioni di persone studiati hanno superato tutti i test di casualità (in seguito vedremo di cosa si tratta).

da sinistra: Stan Ulam, Richard Feynman e John Von Neumann

In ogni caso, di fronte alle esigenze pratiche, l’obiettivo è quello di far produrre ad un computer sequenze di numeri casuali, così da avere sequenze molto grandi. E la domanda da un milione di dollari è: perchè?

Le applicazioni sono in realtà talmente tante che non so da dove cominciare. Tra i primi ad avere l’idea di utilizzare numeri casuali per ricerche scientifiche troviamo Enrico Fermi, uno dei più illustri fisici italiani,  nel 1930 che pensò di usarli  per simulare fenomeni nucleari, in particolare la diffusione casuale di neutroni. (In effetti,uno dei migliori generatori di numeri random è un campione di un materiale che decade, perciò non c’è da stupirsi che le sequenze casuali trovino applicazioni in fisica nucleare e subnucleare!) Sempre in ambito nucleare se ne occuparono John Von Neumann e Stanislaw Ulam, nei laboratori di Los Alamos. In generale in ambito scientifico, i metodi Monte Carlo (il nome deriva dalla denominazione in codice utilizzata durante il Progetto Manhattan) vengono utilizzati per simulare un fenomeno fisico (ad esempio il comportamento delle molecole in un gas, il comportamento del traffico su una strada, etc…), ma anche per confrontare i dati di una misura e le conclusioni da essi tratte con dei dati casuali (effettuando in questo modo un test denominato proprio Metodo Monte Carlo).

Le applicazioni non si fermano qui: la generazione di numeri casuali può essere utilizzata anche per il calcolo di integrali definiti, spesso multidimensionali ,(si veda l’esempio nella figura), ma anche per la grafica computerizzata, la crittografia (le chiavi dovrebbero essere il più casuale possibile in modo che sia molto difficle riprodurle), le analisi di borsa, le simulazioni dei giochi d’azzardo,etc…

Ecco un esempio di integrazione con Metodo Monte Carlo per calcolare il valore di pi. Si estraggono n coppie di numeri casuali all'interno del quadrato e si calcola il rapporto tra i punti interni alla circonferenza e quelli totali. Tramite questo rapporto si può calcolare facilmente il valore di pi.

In questo grafico si può vedere come il valore del rapporto tra i punti interni e quelli totali converga al crescere del numero di prove

In tutti questi ambiti le sequenze è bene che siano molto lunghe in modo da poter fare simulazioni più corpose e analisi più affidabili: per questa ragione utilizzare un calcolatore è l’ideale. E qui sorge un grosso problema: il computer è una macchina che esegue istruzioni codificate, come è possibile che generi numeri casuali? Effettivamente, nel caso di sequenze che vengono prodotte da un computer si parla di numeri pseudo-casuali o pseudo-random. Tali sequenze vengono generate da algoritmi i cui risultati, però, riescono a superare una serie di test che verificano, ad esempio, che i numeri generati all’interno della stessa sequenza non siano tra loro correlati. Di questo tipo di algoritmi ne sono stati proposti molti: uno dei primi è il Middle Square (proposto da Von Neumann nel 1946), il quale è piuttosto semplice e si presta bene per fare un esempio.

Middle Square, come tutti i generatori di numeri pseudo-random che conosco, richiede all’utente di inserire un seed, vale a dire un numero da cui partire per il calcolo. Di questo numero (il primo della sequenza) di, supponiamo, 6 cifre, computa il quadrato e il termine successivo della sequenza è rappresentato dalle 6 cifre centrali del quadrato calcolato. E così via…Non è nulla di complicato da descrivere, ma non è un buon algoritmo (perlomeno non lo è più) in quanto è possibile entrare in loop periodici e per essere vagamente valido il numero di cifre che deve avere ogni numero deve essere piuttosto alto.

I metodi più noti sono quelli appartenenti alla categoria dei metodi lineari congruenti (proposti da Lehmer nel 1948) abbreviati LCG. Questi metodi richiedono un seed per costruire una sequenza secondo questa regola:

xn+1 = (a xn + c) mod m,  n≥0,

Dove a, c ed m sono numeri interi. Il problema di questo metodo consiste nel fatto che la scelta dei parametri è cruciale ed è molto difficile prevedere quali siano le conseguenze della scelta di un particolare set di parametri. E’ stato inoltre dimostrato che si presentano particolari correlazioni: in particolare tutti i numeri di una sequenza tendono a disporsi su iperpiano di dimensione collegata alla scelta di m. In realtà questo tipo di generatori viene comunque utilizzato, ma non per simulazioni di esperimenti fisici o per applicazioni crittografiche (proprio a causa di queste correlazioni).

In questa animazione è rappresentata la generazione di numeri casuali con un algoritmo di tipo LCG. Si può osservare che all'aumentare dei numeri generati questi tendono a disporsi su un piano.

Ma allora cosa si utilizza per le simulazioni di esperimenti? In realtà ogni framework di analisi dati ha fatto le sue scelte (e spesso ne offrono all’utente anche più di una). Tuttavia al momento lo strumento migliore a disposizione di chi vuole generare numeri casuali è l’algoritmo Mersenne Twister presentato nel 1997 da M. Matsumoto and T. Nishimura il quale consiste in una variante dei generatori LCG, ma che non presenta la criticità legata alla disposizione su iperpiani e ha superato tutti i più severi test di casualità.

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