Sherlock Holmes matematici: il profiling geografico.

Forse vi sarà capitato di intravedere (o di guardare con avido interesse) qualche episodio di serie poliziesche come Numb3rs (del quale credo che riparlerò ancora) o Law and Order nelle quali (in ogni puntata della prima e in qualcuna della seconda) si vedono mappe colorate appese alle pareti sulle quali vengono rappresentate con colori diversi le zone nelle quali ci sono diverse probabilità che risieda l’assassino.

La prima domanda che sorge spontanea è “si tratta di fantascienza? La risposta è semplicemente no.  Negli anni ’80 l’agente canadese Kim Rossmo  che coltivava parallelamente al suo lavoro l’interesse per la matematica utilizzò le sue conoscenze in questa disciplina e le sue modellizzazioni come strumento di investigazione. Riesaminando vecchi casi di killer o stupratori seriali costruì una formula, detta appunto formula di Rossmo, che esaminerò in seguito,  la quale permette di associare, una volta inseriti i parametri del caso, ad ogni punto di una mappa la probabilità che tale punto sia una base (residenza, luogo di lavoro) del criminale (a patto chiaramente che si tratti di un criminale di tipo seriale). Qualche tempo dopo sfruttando tale formula Rossmo costruì un programma Rigel che costruiva le mappe del quale oggi il creatore di occupa, aggiornandolo e insegnandone il funzionamento.

La domanda sorge spontanea: funziona? Rossmo risolse con il metodo del profiling geografico qualche caso in Canada e divenne famosissimo per aver scoperto uno stupratore a Lafayette, in Lousiana, che per più di dieci anni aveva molestato molte donne della città.  Il caso, denominato South Side Rapist, creò molti problemi alla polizia locale che si rivolse a Rossmo che riuscì a circoscrivere la zona di residenza del malvivente, all’interno della quale venne prelevato il DNA di tutti gli uomini residenti (e dopo un primo buco nell’acqua anche agli ex-residenti) permettendo di identificare l’uomo.

Ci tengo a precisare che questo metodo funziona soltanto se adottato nei casi di killer seriali con una base fissa. Accadde infatti che si tentò di applicarlo al caso di un cecchino (si scoprì poi che erano due)  denominato Beltway Sniper che non aveva(no) una base fissa. Il risultato ovviamente fu un insuccesso.

Come mai? Su che cosa si basa il profiling geografico? Come suggerisce il nome, che ricorda il profiling psicologico, già utilizzato in criminologia, si tratta di definire quali aree urbane siano con più probabilità la sede del killer. Non si tratta pertanto di prevedere dove e come il criminale agirà , perchè questo è molto complicato: dipende da molte, troppe variabili, molte delle quali non sono note.  Kim Rossmo spiegò il funzionamento del suo metodo con un esempio (ripreso nella prima puntata della prima serie di Numb3rs) molto chiaro. Si immagini uno spruzzatore da giardino (di quelli che ruotano per esempio): è praticamente impossibile prevedere dove cadrà la prossima goccia perchè in gioco vi sono troppe variabili (velocità di rotazione dello spruzzatore, direzione e velocità del vento, eventuale presenza di ostacoli…). Tuttavia è possibile anche non vedendo la locazione dello spruzzatore data una serie di punti dove sono atterrate le gocce calcolarne la posizione. Il principio utilizzato è lo stesso con opportune variazioni: si tiene conto di alcune informazioni note dalla criminologia (ad esempio la tendenza dei seria killer a colpire vicino alla loro base, ma non troppo vicino salvaguardando una specia di zona franca) , del fatto che le sedi possono essere più di una e della naturale tendenza umana a creare schemi anche quando tenta di comportarsi in modo casuale.

Su quest’ultimo punto vorrei insistere particolarmente: sono stati fatti una serie di studi chiedendo a gruppi di volontari di scrivere numeri casuali su un foglio e parallelamente  ad altri volontari veniva chiesto di scegliere in numeri da scrivere tirando dei dadi. Ebbene nonostante gli sforzi dei primi si rivelò facilissimo distinguere gli elenchi veramente casuali. Questo perchè gli elenchi del primo gruppo non presentavano quasi mai la concentrazione di numeri vicini, cosa invece casualmente può accadere! Analogamente chiedendo a delle persone di disporsi in una stanza casualmente esse tenderanno a disporsi all’incirca tutti alla stessa distanza l’una dall’altra (non vale chiederlo dentro un’università di matematica).

Tutto questo è espresso dalla formula di Rossmo:

Formula di Rossmo

Si può osservare anzitutto che a sinistra dell’uguale troviamo la probabilità di un punto appartenente ad una mappa alle coordinate ij di essere una sede del killer (i e j si usano in generale in matematica come indici per rappresentare la riga e la colonna). A destra vi è una costante k moltiplicata per una sommatoria da 1 a c (che indica il numero dei casi noti): in altre parole si sommano tanti termini quanti sono i casi precedenti. Ogni termine è a sua volta composto da due termini: il primo presenta una distanza a denominatore elevata ad un f da noi scelto in base ai parametri del caso e a numeratore una funzione indicata con la lettera greca phi che rappresenta una funzione peso per dare più peso ad un termine (il primo o il secondo) o all’altro (il secondo o il primo rispettivamente). Questo termine rappresenta il decrescere della probabilità all’aumentare della distanza e può ricordare alcune leggi fisiche come la legge di gravitazione universale o la legge di Coulomb anche se in questo caso la potenza non è necessariamente f = 2. Il secondo termine può sembrare più strano: a denominatore si sottrae la distanza da una costante B (un altro parametro che va inserito a seconda del tipo di indagine) e a numeratore compare, sottratta però, di nuovo la funzione peso. Questo secondo termine rende conto della presenza della zona cuscinetto, le cui dimensioni sono rappresentate tramite il parametro B.

Si può osservare chiaramente quali siano le restrizioni legate all’utilizzo di questa formula e quanti parametri si debbano stimare per utilizzarla. Un discorso analogo si deve fare per il software Rigel. Tuttavia in molti casi si sono rivelati strumenti utili per aiutare le forze di polizia e piano piano stanno trovando anche altre applicazioni.

Per chi fosse interessato e volesse saperne di più posso consigliare di guardare la prima puntata di Numb3rs la cui vicenda è molto, ma molto simile a quella di Kim Rossmo, da cui è ispirata, e di fare una capatina su Numb3rs.Wolfram e su PopSci, oltre alla lettura di “Il matematico e il detective” di Keith Devlin e Gary Lorden. Consiglio inoltre di visitare il sito web del Center for Geospatial Intelligence and Investigation.